В данной работе изложены методы прямого вычисления функций Ферми-Дирака с заданной точностью. Для функций целого индекса эта задача решается с помощью сведения функций положительного аргумента к функциям отрицательного аргумента. Для функций полуцелого индекса значения аргумента разбиваются на три области: отрицательный аргумент, где используется быстросходящийся ряд; большие положительные аргументы, где применимо асимптотическое разложение; промежуточная область, где используется прямое численное интегрирование. В последнем случае для интегрирования построены формулы с экспоненциальной, то есть очень быстрой сходимостью. Исследованы свойства таких квадратурных формул. Для вычисления интегральной функции Ферми-Дирака найден нетривиальный подход: задача записывается в виде тройного интеграла, в котором одно интегрирование выполняется аналитически, а оставшийся двойной интеграл вычисляется квадратурами с экспоненциальной сходимостью. Предложенные методы позволяют экономично вычислять функции Ферми-Дирака с относительной погрешностью 10^-16 при любых значениях аргумента.

функции Ферми-Дирака, вычисление функций, квадратуры с экспоненциальной сходимостью

Математические вопросы и теория численных методов

Калиткин Николай Николаевич,  kalitkin@imamod.ru,  orcid.org/0000-0002-0861-1792,  ИПМ им. М.В. Келдыша РАН

Колганов Семен Андреевич,  mkandds2012@gmail.com,  AO “БИФИТ”