Рассматривается дифференциальное уравнение с запаздыванием, описывающее динамику численности этноса. Единственный существенный параметр модели — коэффициент r, отвечающий за мгновенное самоограничение роста и связанный с долей субпассионариев; запаздывание τ отражает конечное время, через которое численность прошлых поколений сказывается на приросте нынешнего. Показано, что r = 1 служит универсальным порогом: при r > 1 равновесие устойчиво при любом запаздывании, а при r < 1 существует критическое запаздывание, при котором рождается бифуркация Хопфа. В пределе r≪ 1, τ ≫ 1, rτ ≫ 1 предельный цикл вырождается в релаксационные колебания с периодом τ(2 + 1/r) + O(ln τ): система почти весь период проводит на нижнем плато (этнос отсутствует) и лишь на долю O(r) периода выходит на верхнее плато уровня 1/r (этнос сформирован). Модель дополнена случайным слагаемым — процессом ξ_t = 4t + √t·W_t, у которого относительная неопределённость внешнего притока постоянна. Вычислительный эксперимент показывает, что рост интенсивности возмущения учащает вспышки этногенеза: число плато, приходящихся на единицу времени, растёт монотонно и упирается в предел, отвечающий периоду 2τ вместо детерминированного τ(2 + 1/r). Период остаётся линейным по запаздыванию и почти не зависит от коэффициента саморегуляции, а при r > 1 плато не возникает ни при одной из проверенных интенсивностей, так что порог r = 1 сохраняется и при наличии шума.

пассионарная теория этногенеза, Л. Н. Гумилёв, математическое моделирование, теория самоорганизации, синергетика, качественные модели, дифференциальные уравнения с запаздыванием, системы с шумом, закон изменения пассионарности, предсказуемость и управление пассионарными процессами, релаксационные колебания, бифуркация Хопфа, стохастические уравнения с запаздыванием, вычислительный эксперимент

Математическое моделирование в актуальных проблемах науки и техники