Рассматриваются сложные асимптотические разложения решений полиномиального обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ). Они являются такими рядами по целым степеням независимой переменной, коэффициенты которых суть ряды Лорана по убывающим степеням логарифма независимой переменной. Предлагается алгоритм для составления ОДУ для этих коэффициентов. Первый коэффициент является решением укороченного уравнения. Для некоторых уравнений он оказывается полиномом. Возникает вопрос: будут ли следующие коэффициенты полиномами? Здесь этот вопрос рассмотрен для третьего (P₃) и шестого (P₆) уравнений Пенлеве. Оказалось, что для них во всех случаях второй коэффициент также является полиномом, но третий коэффициент является полиномом либо всегда, либо при определённых условиях на параметры уравнения, либо никогда.

обыкновенное дифференциальное уравнение, сложное асимптотическое разложение, полиномиальность коэффициентов

Математическое моделирование в актуальных проблемах науки и техники

Брюно Александр Дмитриевич,  abruno@keldysh.ru,  orcid.org/0000-0002-7465-1258,  ИПМ им. М.В. Келдыша РАН