В работе проведены новые теоретические и численные исследования следующих двух проблем, связанных с L-функциями Дирихле L(s,χ): гипотеза о значениях L(1/2,χ) и расширенная гипотеза Римана для функции L(s,χ), где χ = χ (n) - характер, являющийся символом Лежандра (n/p), где p – простое число. Новые строгие теоретические результаты дают необходимое и достаточные условия для справедливости или опровержения второй из этих гипотез. Численные исследования, выполненные на компьютере для всех p<500000, подтверждают необходимое условие и не подтверждают условия, достаточные для её опровержения. Найдена аналитическая аппроксимация полученной численно кривой распределения.
