Многогранники Клейна для двух кубических форм Давенпорта
Аннотация:
В 1895 г. Ф.Клейн предложил плоскую геометрическую интерпретацию цепных дробей и следующее их пространственное обобщение. Три плоскости, проходящие через ноль, делят трёхмерное пространство на октанты ΟΣ. В каждом из октантов ΟΣ берётся выпуклая оболочка KΣ целочисленных точек кроме нуля. Целочисленные точки границы ∂KΣ многогранника KΣ (особенно вершины) должны давать лучшие рациональные приближения к указанным плоскостям. Здесь предложен способ вычисления границы ∂KΣ с помощью сопряженного многогранника KΣ*.
В 1938-43 годы Х.Давенпорт нашел две тернарные кубические формы g₁(Χ) и g₂(Χ), равные произведению трёх вещественных однородных линейных форм единичного определителя. Значение модулей этих форм |g₁(Χ)| и |g₂(Χ)| и целых точках Χ≠0 минимальны и равны соответственно 1/7 и 1/9.Здесь вычислены многогранники Клейна gKΣ для этих форм, они образуют двупериодические структуры. Найдены их автоморфизмы и фундаментальные области.
